Jednačina sa tri potpuna kvadrata pod korenom

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{x^2-6x+9}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x+2)^2}=\sqrt{(x-3)^2}

Primeniti svojstvo apsolutne vrednosti: $\sqrt{x^2}=|x|.$

|x-2|+|x+2|=|x-3|

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x-2|= \begin {cases} x-2, \quad x-2 \ge 0\\ -(x-2), \quad x-2 < 0 \end {cases} \\ |x-2|= \begin {cases} x-2, \quad x \ge 2\\ -(x-2), \quad x <2 \end {cases} \qquad\qquad

|x+2|=\begin {cases} x+2, \quad x+2\ge 0 \\ -(x+2), \quad x+2<0 \end {cases} \\ |x+2|=\begin {cases} x+2, \quad x\ge -2 \\ -(x+2), \quad x<-2 \end {cases}

|x-3|=\begin {cases} x-3, \quad x-3\ge 0 \\ -(x-3), \quad x-3<0 \end {cases} \\ |x-3|=\begin {cases} x-3, \quad x\ge 3 \\ -(x-3), \quad x<3 \end {cases}

x\in(-\infty, -2)

x\in[-2, 2)

x\in[2,3)

x\in[3, \infty)

|x-2|

-x+2

-x+2

x-2

x-2

|x+2|

-x-2

x+2

x+2

x+2

|x-3|

-x+3

-x+3

-x+3

x-3

Rešavanje jednačine razdvojiti na četiri slučaja, u zavisnosti od intervala kojem $x$ pripada.

1. \quad x\in(-\infty, -2) \\ 2. \quad x\in[-2,2) \\ 3. \quad x\in[2,3) \\ 4. \quad x\in[3,\infty)

1. Kada $x\in(-\infty, -2)$ jednačina postaje:

-x+2-x-2=-x+3 \\ -2x=-x+3 \\ x=-3

Pošto $-3 \in (- \infin,-2),$ rešenje jednačine u prvom slučaju je $-3.$

2. Kada $x\in[-2,2)$ jednačina postaje:

-x+2+x+2=-x+3 \\ 4=-x+3 \\ x=-1

Pošto $-1 \in [-2,2),$ rešenje jednačine u drugom slučaju je $-1.$

3. Kada $x\in[2, 3)$ jednačina postaje:

x-2+x+2=-x+3 \\ 2x=-x+3 \\ 3x=3 \\ x=1

Pošto $1 \notin[2,3),$ jednačina u trećem slučaju nema rešenje.

4. Kada $x\in[3, \infty)$ jednačina postaje:

x-2+x+2=x-3 \\ 2x+4=x-3\\ x=-7

Pošto $-7 \notin[3, \infty),$ jednačina u četvrtom slučaju nema rešenje.

Rešenja su $x=-3$ i $x=-1.$

$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{x^2-6x+9}$