Nejednačina sa modulom: |x − 3| kroz x na 2 − 5x + 6 ≥ 2

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x-3|= \begin {cases} x-3, \quad x-3 \ge 0\\ -(x-3), \quad x-3 < 0 \end {cases}

|x-3|= \begin {cases} x-3, \quad x \ge 3\\ -(x-3), \quad x < 3 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1. \quad \frac {x-3} {x^2-5x+6}\ge2\quad \text{za} \quad x \in [3, \infty)\\ 2. \quad \frac {-x+3} {x^2-5x+6}\ge2 \quad \text{za} \quad x \in (-\infty,3)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x-3} {x^2-5x+6}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x-3} {x^2-5x+6}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-2x^2+11x-15} {x^2-5x+6}\ge0

Pomnožiti nejednačinu sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

\frac {2x^2-11x+15} {x^2-5x+6}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

\frac {2x^2-11x+15} {x^2-5x+6}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-11$ i $c=15.$

x_{1,2}=\frac {11\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot2\cdot15} } {2\cdot2} \implies x_1=3, \quad x_2=\frac 52

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=6.$

x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6} } {2\cdot1} \implies x_1=3, \quad x_2=2

Rastaviti brojilac po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratnih jednačina.

\frac {2(x-3)(x-\frac 52)} {(x-2)(x-3)}\le0, \quad x\not=2,\quad\land\quad x\not=3

x\in(-\infty, 2)

x\in(2, \frac 52]

x\in[\frac 52,3)

x\in(3, \infty)

x-3

-

-

-

+

x-\frac 52

-

-

+

+

x-2

-

+

+

+

x-3

-

-

-

+

\frac {2(x-3)(x-\frac 52)} {(x-2)(x-3)}

+

-

+

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x\ge3:$

x\in(2,\frac 52] \ \cap \ [3,\infty)=\varnothing

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {-x+3} {x^2-5x+6}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {-x+3} {x^2-5x+6}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-2x^2+9x-9}{x^2-5x+6}\ge0

Pomnožiti nejednačinu sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

\frac {2x^2-9x+9}{x^2-5x+6}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

\frac {2x^2-9x+9}{x^2-5x+6}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-9$ i $c=9.$

x_{1,2}=\frac {9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot2\cdot9} } {2\cdot2} \implies x_1=3, \quad x_2=\frac 32

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=6.$

x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6} } {2\cdot1} \implies x_1=3, \quad x_2=2

Rastaviti brojilac po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratnih jednačina.

\frac {2(x-3)(x-\frac 32)}{(x-3)(x-2)}\le0, \quad x\not=2,\quad\land\quad x\not=3

x\in(-\infty, \frac 32]

x\in[\frac 32, 2)

x\in(2,3)

x\in(3, \infty)

x-3

-

-

-

+

x-\frac32

-

+

+

+

x-3

-

-

-

+

x-2

-

-

+

+

\frac {2(x-3)(x-\frac 32)}{(x-3)(x-2)}

+

-

+

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x<3:$

x\in [\frac 32, 2) \ \cap \ (-\infty, 3) = [\frac 32, 2)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x\in [\frac 32, 2) \ \cup \ \varnothing = [\frac 32, 2)

$\frac {|x-3|} {x^2-5x+6}\ge2$