Nejednačina sa modulom |x| i imeniocem x − 3

Postaviti uslove nejednačine:

x-3\not=0 \implies x\not=3

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x|= \begin {cases} x, \quad x \ge 0\\ -x, \quad x< 0 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1. \quad \frac {x^2-x-12} {x-3} \ge 2x \quad \text{za} \quad x \ge 0\\ 2. \quad \frac {x^2+x-12} {x-3} \ge 2x \quad \text{za} \quad x<0

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x^2-x-12} {x-3} \ge 2x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x^2-x-12} {x-3}-2x \ge 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-x^2+5x-12} {x-3} \ge 0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {x^2-5x+12} {x-3} \le 0

Pošto je $a=1>0$ i $D=-11<0,$ kvadratna funkcija $x^2-5x+12$ nije definisana u skupu realnih brojeva. Tada se nejednačina svodi na:

x-3<0 \implies x<3

Naći presek sa uslovom $x\ge0:$

x\in(-\infty, 3) \ \cup \ [0,\infty)=[0,3)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {x^2+x-12} {x-3} \ge 2x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x^2+x-12} {x-3} -2x\ge 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-x^2+7x-12} {x-3}\ge 0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {x^2-7x+12} {x-3}\le 0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-7$ i $c=12$

x_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot12}} {2\cdot1} \implies x_1=4, \quad x_2=3

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

\frac {(x-3)(x-4)} {x-3}\le 0

x\in(-\infty, 3)

x\in(3,4]

x\in[4, \infty)

x-3

-

+

+

x-4

-

-

+

x-3

-

+

+

\frac {(x-3)(x-4)} {x-3}

-

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x<0:$

x\in ( \ (-\infty,3) \ \cup \ (3,4] \ ) \ \cap \ (-\infty, 0)= (-\infty, 0)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x\in [0,3) \ \cup \ (-\infty, 0)= (-\infty, 3)

$\frac {x^2-|x|-12} {x-3} \ge 2x$