Nejednačina sa modulom |x − 1| i imeniocem x − 3

Postaviti uslove nejednačine:

x-3\not=0 \implies x\not=3

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x-1 \ge 0\\ -(x-1), \quad x-1< 0 \end {cases}

|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x \ge 1\\ -(x-1), \quad x<1 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1. \quad \frac {x^2+x-1} {x-3}\le x \quad \text{za} \quad x \ge 1\\ 2. \quad \frac {x^2-x+1} {x-3}\le x \quad \text{za} \quad x<1

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x^2+x-1} {x-3}\le x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x^2+x-1} {x-3}-x\le 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {4x-1} {x-3}\le 0

x\in(-\infty, \frac 14]

x\in[\frac 14, 3)

x\in(3, \infty)

4x-1

-

+

+

x-3

-

-

+

\frac {4x-1} {x-3}

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x\ge1:$

x\in[\frac 14, 3) \ \cap \ [1, \infty)= [1,3)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {x^2-x+1} {x-3}\le x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x^2-x+1} {x-3}-x\le 0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {2x+1} {x-3}\le 0

x\in(-\infty, -\frac 12]

x\in[-\frac 12, 3)

x\in(3, \infty)

2x+1

-

+

+

x-3

-

-

+

\frac {2x+1} {x-3}

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x<1:$

x\in[-\frac 12,3) \ \cap \ (-\infty,1)=[-\frac 12, 1)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x\in [ 1,3) \ \cup \ [-\frac 12, 1)=[-\frac 12, 3)

$\frac {x^2+|x-1|} {x-3}\le x$