Nejednačina sa modulom: |x − 2| kroz x na 2 − 3x + 2 ≥ 2

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x-2|= \begin {cases} x-2, \quad x-2 \ge 0\\ -(x-2), \quad x-2 < 0 \end {cases}

|x-3|= \begin {cases} x-2, \quad x \ge 2\\ -(x-2), \quad x < 2 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1. \quad \frac {x-2}{x^2-3x+2}\ge2\quad \text{za} \quad x \in [2, \infty)\\ 2. \quad \frac {-x+2}{x^2-3x+2}\ge2 \quad \text{za} \quad x \in (-\infty,2)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x-2}{x^2-3x+2}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x-2}{x^2-3x+2}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-2x^2+7x-6} {x^2-3x+2}\ge0

Pomnožiti nejednačinu sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

\frac {2x^2-7x+6} {x^2-3x+2}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

\frac {2x^2-7x+6} {x^2-3x+2}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-7$ i $c=6.$

x_{1,2}=\frac {7\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot2\cdot6} } {2\cdot2} \implies x_1=2, \quad x_2=\frac 32

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2.$

x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \implies x_1=2, \quad x_2=1

Rastaviti brojilac po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratnih jednačina.

\frac {2(x-2)(x-\frac32)} {(x-2)(x-1)}\le0, \quad x\not=2 \quad\land\quad x\not=1

x\in(-\infty,1)

x\in(1,\frac32]

x\in[\frac 32,2)

x\in(2, \infty)

x-2

-

-

-

+

x-\frac 32

-

-

+

+

x-2

-

-

-

+

x-1

-

+

+

+

\frac {2(x-2)(x-\frac32)} {(x-2)(x-1)}

+

-

+

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x\ge2:$

x\in(1,\frac 32] \ \cap \ [2,\infty)=\varnothing

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {-x+2}{x^2-3x+2}\ge2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {-x+2}{x^2-3x+2}-2\ge0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-2x^2+5x-2} {x^2-3x+2}\ge0

Pomnožiti nejednačinu sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

\frac {2x^2-5x+2} {x^2-3x+2}\le0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

\frac {2x^2-5x+2} {x^2-3x+2}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-5$ i $c=2.$

x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot2} } {2\cdot2} \implies x_1=\frac12, \quad x_2=2

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2.$

x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2} } {2\cdot1} \implies x_1=2, \quad x_2=1

Rastaviti brojilac po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratnih jednačina.

\frac {2(x-\frac12)(x-2)} {(x-2)(x-1)}\le0, \quad x\not=2 \quad\land\quad x\not=1

x\in(-\infty, \frac12]

x\in[\frac12,1)

x\in(1,2)

x\in(2,\infty)

x-\frac12

-

+

+

+

x-2

-

-

-

+

x-2

-

-

-

+

x-1

-

-

+

+

\frac {2(x-\frac12)(x-2)} {(x-2)(x-1)}

+

-

+

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x<2:$

x\in[\frac 12,1) \ \cap \ (-\infty, 2)=[\frac 12,1)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x\in [\frac 12, 1) \ \cup \ \varnothing = [\frac 12, 1)

$\frac {|x-2|}{x^2-3x+2}\ge2$