Kvadratna jednačina sa modulom: 2x na 2 − |5x − 2| = 0

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|5x-2|= \begin {cases} 5x-2, \quad 5x-2 \ge 0\\ -(5x-2), \quad 5x-2 < 0 \end {cases}

|5x-2|= \begin {cases} 5x-2, \quad x \ge \frac{2}{5}\\ -5x+2, \quad x < \frac{2}{5} \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1. \quad 2x^2-(5x-2)=0 \quad \text{za} \quad x \ge \frac{2}{5}\\ 2. \quad 2x^2-(-5x+2)=0 \quad \text{za} \quad x<\frac{2}{5}

Rešiti jednačinu u prvom slučaju primenom formule: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-5$ i $c=2.$

2x^2-5x+2=0 \\ x_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{25-16} } {2\cdot2} \\ x_1 = \frac{1}{2} \quad \lor \quad x_2=2

Oba rešenja prvog slučaja $x_1=\frac{1}{2}$ i $x_2=2$ zadovoljavaju uslov $x\ge\frac{2}{5}.$

Rešiti jednačinu u drugom slučaju primenom formule: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=5$ i $c=-2.$

2x^2+5x-2=0 \\ x_{1,2}=\frac {-5\pm\sqrt{25+16} } {2\cdot2}\\ x_1 = \frac{-5+\sqrt{41}}{4} \quad \lor \quad x_2=\frac{-5-\sqrt{41}}{4}

Oba rešenja drugog slučaja $x_1=\frac{-5+\sqrt{41}}{4}$ i $x_2=\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$ zadovoljavaju uslov $x < \frac{2}{5}.$

Konačno rešenje jednačine jednako je uniji rešenja oba slučaja.

x \in \lbrace \frac{1}{2}, \ 2, \ \frac{-5-\sqrt{41}}{4}, \ \frac{-5+\sqrt{41}}{4} \rbrace

$2x^2-|5x-2|=0$