Jednačina sa dvostrukom apsolutnom vrednošću

Potrebno je prvo rešiti unutrašnju apsolutnu vrednost $|x-1|.$

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x-1 \ge 0\\ -(x-1), \quad x-1 < 0 \end {cases}

|x-1|= \begin {cases} x-1, \quad x\ge1 \\ -x+1, \quad x <1 \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1. \quad |x^2-(x-1)| =1\quad \text{za} \quad x \ge1 \\ 2. \quad |x^2-(-x+1)| =1 \quad \text{za} \quad x <1

Na sređeni izraz prvog slučaja $|x^2-x+1|=1$ primeniti definiciju apsolutne vrednosti

|x^2-x+1|= \begin {cases} x^2-x+1, \quad x^2-x+1| \ge 0\\ -(x^2-x+1), \quad x^2-x+1< 0 \end {cases}

Rešavanjem kvadratne jednačine $x^2-x+1=0$ ne dobiju se rešenja koja pripadaju skupu realnih brojeva pa uslovi ovog slučaja ne postoje.

|x^2-x+1|= \begin {cases} x^2-x+1, \quad x^2-x+1| \ge 0\\ -x^2+x-1, \quad x^2-x+1< 0 \end {cases}

Rešavanje jednačine razdvojiti na dva slučaja.

1' \quad x^2-x+1=1\quad \text{za} \quad x^2-x+1\ge0 \\ 2' \quad -x^2+x-1= 1\quad \text{za} \quad x^2-x+1<0

Rešiti jednačinu u $1'$ slučaju:

x^2-x+1=1

x^2-x=0

x(x-1)=0 \implies x_1=0,\quad x_2=1

Rešiti jednačinu u $2'$ slučaju:

-x^2+x-1=1

Rešavanjem kvadratne jednačine $x^2-x+2=0,$ koja se dobije sređivanje izraza, ne dobiju se rešenja koja pripadaju skupu realnih brojeva.

Na sređeni izraz drugog slučaja $|x^2+x-1|=1$ primeniti definiciju apsolutne vrednosti

|x^2+x-1|= \begin {cases} x^2+x-1, \quad x^2+x-1| \ge 0\\ -(x^2+x-1), \quad x^2+x-1< 0 \end {cases}

|x^2+x-1|= \begin {cases} x^2+x-1, \quad x \in (-\infin, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infin) \\ -x^2-x+1, \quad x \in (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \end {cases}

3' \quad x^2+x-1=1\quad \text{za} \quad x \in (-\infin, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \infin) \\ 4' \quad -x^2-x+1= 1\quad \text{za}\quad x\in\quad (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2})

Rešiti jednačinu u $3'$ slučaju:

x^2+x-1=1

Rešavanje kvadratne jednačine $x^2+x-2,$ dobijene sređivanje izraza, dobiju se rešenja $x_3=1$ i $x_4=-2$

Rešiti jednačinu u $4'$ slučaju.

-x^2-x+1=1

-x(x+1)=0 \implies x_5=0,\quad x_6=-1

Konačna rešenja zadatka su:

x_1=0, \quad x_2=1, \quad x_3=-1, \quad x_4=-2

$|x^2-|x-1||$