Kvadratna nejednačina sa modulom: |x na 2 + 4x| ≥ 1 − 2x

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x^2+4x|= \begin {cases} x^2+4x, \quad x^2+4x \ge 0\\ -(x^2+4x), \quad x^2+4x < 0 \end {cases}

|x^2+4x|= \begin {cases} x^2+4x, \quad x \in (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \\ -x^2-4x, \quad x \in (-4, 0) \end {cases}

Rešavanje nejednačine razvodjiti na dva slučaja.

1. \quad x^2+4x \ge 1-2x \quad \text{za} \quad x \in (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \\ 2. \quad -x^2-4x \ge 1-2x \quad \text{za} \quad x \in (-4, 0)

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

x^2+6x -1\ge 0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

x^2+6x -1 = 0 \\ x_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{36+4} } {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {-6\pm\sqrt{40} } {2} \\ x_{1,2}=-3\pm\sqrt{10} \\ x_1= -3 + \sqrt{10} \quad \lor \quad x_2=-3 - \sqrt{10}

Pošto je $a=1>0$ i $D=40>0,$ kvadratna funkcija $x^2+6x -1$ je nenegativna za:

x \in (-\infin, \ -3- \sqrt{10}] \quad \cup \quad x \in[-3 +\sqrt{10} ,\ \infin)

Pronaći presek sa datim uslovom u prvom slučaju.

x \in \Big ( \ (-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin) \ \Big ) \quad \cap \quad \Big( \ (-\infin, -4] \cup [0, \infin) \ \Big) \quad = \quad (-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

-x^2-2x -1\ge 0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

-x^2-2x -1= 0 \\ x_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{4-4} } {2\cdot(-1)} \\ x_{1,2}=-\frac{2}{2} \\ x_1=x_2=-1

Pošto je $a=-1<0$ i $D=0,$ kvadratna nejednačina $-x^2-2x -1\ge 0$ je $\ge0$ ima rešenje samo u tački:

x=-1

Pronaći presek sa datim uslovom u drugom slučaju.

x\in \{-1\}\ \cap \ (-4, 0) = \{-1\}

Konačno rešenje nejednačine jednako je uniji rešenja oba slučaja.

(-\infin, \ -3 - \sqrt{10}] \cup [-3 +\sqrt{10},\ \infin)\ \cup\ \{ -1\}

$|x^2+4x| \ge 1-2x$