Dvostruka nejednačina sa racionalnim izrazom

Nejednačina je definisana za:

x-4\not=0 \implies x\not=4

Razdvojiti u dve nejednačine:

1. \quad \frac {-x^2+5x-7} {x-4}>-2 \\ 2. \quad \frac {-x^2+5x-7} {x-4}\le1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

1. \quad \frac {-x^2+5x-7} {x-4}+2>0 \\ 2. \quad \frac {-x^2+5x-7} {x-4}-1\le0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

1. \quad -\frac {x^2-7x+15}{x-4}>0 \\ 2. \quad -\frac {x^2-4x+3}{x-4}\le0

Pomnožiti obe nejednačine sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti zbog množenja negativnim brojem.

1. \quad \frac {x^2-7x+15}{x-4}<0 \\ 2. \quad \frac {x^2-4x+3}{x-4}\ge0

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x^2-7x+15}{x-4}<0

Pošto je $a=1>0$ i $D=-11<0,$ kvadratna funkcija $x^2-7x+15$ nije definisana u skupu realnih brojeva. Tada se nejednačina svodi na:

x-4<0 \implies x<4

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {x^2-4x+3}{x-4}\ge0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-4$ i $c=3$

x_{1,2}=\frac {4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot3}} {2\cdot1} \implies x_1=1, \quad x_2=3

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

\frac {(x-1)(x-3)}{x-4}\ge0

x\in(-\infty,1]

x\in[1,3]

x\in[3,4)

x\in(4, \infty)

x-1

-

+

+

+

x-3

-

-

+

+

x-4

-

-

-

+

\frac {(x-1)(x-3)}{x-4}

-

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in[3,4] \ \cup \ (4, \infty)

Pronaći presek rešenja oba slučaja.

x\in(-\infty, 4) \ \cap \ \big( \ [3,4] \ \cup \ (4, \infty) \ \big)=[3,4]

$-2<\frac {-x^2+5x-7} {x-4}\le1$