Kvadratna nejednačina: kvadrat razlomka veći od 1

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\bigg(\frac {x-5} {2x-3}\bigg)^2>1

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

2x-3\not=0 \implies x\not=\frac 32

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\bigg(\frac {x-5} {2x-3}\bigg)^2-1>0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {(x-5)^2-(2x-3)^2} {(2x-3)^2}>0

Osloboditi se zagrada množenjem i kvadriranjem:

\frac {-3x^2+2x+16} {(2x-3)^2}>0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {3x^2-2x-16} {(2x-3)^2}<0

Da bi razlomak bio negativan i kako je imenilac $(2x-3)^2>0,$ neophodno je da i brojilac $3x^2-2x-16$ bude manji od 0. Tako se nejednačina svodi na:

3x^2-2x-16<0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

3x^2-2x-16=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=3,$ $b=-2$ i $c=-16$

x_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot3\cdot(-16)}} {2\cdot3} \implies x_1=-2, \quad x_2=\frac 83

Pošto je $a=3>0$ i $D=196>0,$ kvadratna funkcija $3x^2-2x-16$ je negativna za:

x\in(-2,\ \frac 83)

Pronaći presek sa početnim uslovom.

x\in(-2, \ \frac 32)\ \cup \ (\frac32, \ \frac 83)

$\big(\frac {x-5} {2x-3}\big)^2>1$