Racionalna nejednačina: (1 − x)/x ≤ (2 − x)/(x − 1)

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\frac {1-x}x\le \frac {2-x}{x-1}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

x\not=0 \quad\land\quad x\not=1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {1-x}x- \frac {2-x}{x-1}\le0

Svesti sve članove na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-1}{x(x-1)}\le0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {1}{x(x-1)}\ge0

Da bi razlomak bio pozitivan i kako je brojilac $1>0,$ neophodno je da i imenilac $x(x-1)$ bude veći od 0. Tako se nejednačina svodi na:

x(x-1)\ge0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

x(x-1)=0 \implies x=0 \quad\land\quad x=1

Pošto je $a=1>0$ i $D=1>0,$ kvadratna funkcija $x(x-1)$ je nenegativna za:

x\in(-\infty, \ 0] \ \cup \ [1, \ \infty)

Pronaći presek sa početnim uslovom.

x\in(-\infty, \ 0) \ \cup \ (1, \ \infty)

$\frac {1-x}x\le \frac {2-x}{x-1}$