Jednačina sa smenom korena iz x − 1: od 5 do 10

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu.

\sqrt{x-1}=t \\ x-1=t^2 \ \land \ t\ge0 \\ x=t^2+1

Izraziti jednačinu preko promenljive $t.$

\sqrt{t^2+1+3-4t}+\sqrt{t^2+1+8-6t}=1 \\ \sqrt{t^2-4t+4}+\sqrt{t^2-6t+9}=1

Primeniti formulu za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

\sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-3)^2}=1

Primeniti svojstvo apsolutne vrednosti: $\sqrt{x^2}=|x|.$

|t-2|+|t-3|=1

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|t-2|= \begin {cases} t-2, \quad t-2 \ge 0\\ -(t-2), \quad t-2 < 0 \end {cases} \\ |t-2|= \begin {cases} t-2, \quad t\ge 2\\ -(t-2), \quad t< 2 \end {cases}

|t-3|=\begin {cases} t-3, \quad t-3\ge 0 \\ -(t-3), \quad t-3<0 \end {cases} \\ |t-3|=\begin {cases} t-3, \quad t\ge 3\\ -(t-3), \quad t<3 \end {cases}

t\in(-\infty, 2)

t\in[2,3)

t\in[3, \infty)

|t-2|

-(t-2)

t-2

t-2

|t-3|

-(t-3)

-(t-3)

t-3

Rešavanje jednačine razdvojiti na tri slučaja, u zavisnosti od intervala kojem $t$ pripada.

1. \quad t\in(-\infty, 2) \\ 2. \quad t\in[2,3) \\ 3. \quad t\in [3, \infty)

1. Kada $t\in(-\infty, 2)$ jednačina postaje:

-(t-2)-(t-3)=1 \\ -t+2-t+3=1 \\ -2t+5=1 \\ 2t=4 \\ t=2

Pošto $2 \notin (-\infty, 2),$ jednačina u prvom slučaju nema rešenje.

2. Kada $t\in[2,3)$ jednačina postaje:

t-2-(t-3)=1 \\ t-2-t+3=1 \\ 1=1

Jednačina u drugom slučaju je tačna za svako $t$ iz intervala $[2,3)$

3. Kada $t\in[3, \infin)$ jednačina postaje:

t-2+t-3=1 \\ 2t-5=1 \\ 2t=6 \\ t=3

Pošto $3 \in [3, \infin),$ rešenje jednačine u trećem slučaju je $3.$

Rešenje je jednako uniji rešenja sva tri slučaja.

t\in[2,3]

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

t\in[2,3] \\ x\in[2^2+1, \ 3^2+1] \\ x\in[5,10]

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$