Jednačina sa smenom korena iz 2x − 5: rešenje 15

Uvesti smenu $t=\sqrt{2x-5}$ i izraziti $x$ preko $t.$

\sqrt{2x-5}=t \\ 2x-5=t^2 \\ x=\frac{t^2+5}2

Izraziti jednačinu preko promenljive $t.$

\sqrt{\frac{t^2+5}2-2+t}+\sqrt{\frac{t^2+5}2+2+3t}=7\sqrt2

Svesti na iste imenioce i srediti izraz.

\sqrt{\frac{t^2+5}2-\frac42+\frac{2t}2}+\sqrt{\frac{t^2+5}2+\frac42+\frac{6t}2}=7\sqrt2 \\ \sqrt{\frac{t^2+5-4+2t}2}+\sqrt{\frac{t^2+5+4+6t}2}=7\sqrt2 \\ \sqrt{\frac{t^2+2t+1}2}+\sqrt{\frac{t^2+6t+9}2}=7\sqrt2 \\

Primeniti formulu za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

\sqrt{\frac{(t+1)^2}2}+\sqrt{\frac{(t+3)^2}2}=7\sqrt2

Pomnožiti obe strane jednačine sa $\sqrt{2}.$

\frac{\sqrt{(t+1)^2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{(t+3)^2}}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2} \\ \sqrt{(t+1)^2} + \sqrt{(t+3)^2} = 14

Primeniti svojstvo apsolutne vrednosti: $\sqrt{x^2}=|x|.$

|t+1|+|t+3|=14

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|t+1|= \begin {cases} t+1, \quad t+1 \ge 0\\ -(t+1), \quad t+1 < 0 \end {cases} \\ |t+1|= \begin {cases} t+1, \quad t\ge -1\\ -(t+1), \quad t< -1 \end {cases}

|t+3|=\begin {cases} t+3, \quad t+3\ge 0 \\ -(t+3), \quad t+3<0 \end {cases} \\ |t+3|=\begin {cases} t+3, \quad t\ge -3\\ -(t+3), \quad t<-3 \end {cases}

t\in(-\infty, -3)

t\in[-3,-1)

t\in[-1,\infty)

|t+1|

-t-1

-t-1

t+1

|t+3|

-t-3

t+3

t+3

Rešavanje jednačine razdvojiti na tri slučaja, u zavisnosti od intervala kojem $t$ pripada.

1. \quad t\in(-\infty,-3) \\ 2. \quad t\in[-3,-1) \\ 3. \quad t\in[-1, \infty)

1. Kada $t\in(-\infty, -3)$ jednačina postaje:

-(t+1)-(t+3)=14 \\ -t-1-t-3=14 \\ -2t=18 \\ t=-9

Pošto $-9 \in (-\infin,-3),$ rešenje jednačine u drugom slučaju je $-9.$

2. Kada $t\in[-3,-1)$ jednačina postaje:

-(t+1)+t+3=14 \\ -t-1+t+3=14 \\ 2=14

Pošto je dobijena relacija netačna, zaključuje se da jednačina u drugom slučaju nema rešenja.

3. Kada $t\in[-1, \infin)$ jednačina postaje:

t+1+t+3=14 \\ 2t=10 \\ t=5

Pošto $5 \in [-1, \infin),$ rešenje jednačine u trećem slučaju je $5.$

Rešenje je jednako uniji rešenja sva tri slučaja.

t=\{-9, 5\}

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

t=\{-9, 5\} \\ x=\{\frac{(-9)^2+5}2, \ \frac{5^2+5}2 \} \\ x=\{43, 15\}

Proveriti rešenja jednačine uvrštavanjem dobijenih vrednosti u početni izraz.

\sqrt{43-2+\sqrt{2\cdot43-5}}+\sqrt{43+2+3\sqrt{2\cdot43-5}}= \sqrt{41+\sqrt{86-5}}+\sqrt{45+3\sqrt{86-5}}=\sqrt{41+\sqrt{81}}+\sqrt{45+3\sqrt{81}}=\sqrt{41+9}+\sqrt{45+3\cdot9}=\sqrt{50}+\sqrt{45+27}=\sqrt{50}+\sqrt{72}=5\sqrt2+6\sqrt2=11\sqrt2 \not=7\sqrt2 \\ \sqrt{15-2+\sqrt{2\cdot15-5}}+\sqrt{15+2+3\sqrt{2\cdot15-5}}= \sqrt{13+\sqrt{30-5}}+\sqrt{17+3\sqrt{30-5}}= \sqrt{13+\sqrt{25}}+\sqrt{17+3\sqrt{25}}=\sqrt{13+5}+\sqrt{17+3\cdot5}=\sqrt{18}+\sqrt{17+15}=\sqrt{18}+\sqrt{32}=3\sqrt2+4\sqrt2=7\sqrt2

Iz provere se zaključuje da je jedino rešenje jednačine $x=15.$

$\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt2$