Nejednačina sa modulom: (|x + 3| + x)/(x + 2) ≥ 1

Postaviti uslove nejednačine:

x+2\not=2 \implies x\not=-2

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|x+3|= \begin {cases} x+3, \quad x+3 \ge 0\\ -(x+3), \quad x+3< 0 \end {cases}

|x+3|= \begin {cases} x+3, \quad x \ge -3\\ -(x+3), \quad x<-3 \end {cases}

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja.

1. \quad \frac {x+3+x}{x+2}\ge1 \quad \text{za} \quad x \ge-3\\ 2. \quad \frac {-x-3+x}{x+2}\ge1 \quad \text{za} \quad x<-3

Rešiti nejednačinu u prvom slučaju.

\frac {x+3+x}{x+2}\ge1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x+3+x}{x+2}-1\ge0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {x+1}{x+2}\ge0

x\in(-\infty, -2)

x\in(-2, -1]

x\in[-1, \infty)

x+1

-

-

+

x+2

-

+

+

\frac {x+1}{x+2}

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x\ge-3:$

x\in ( \ (-\infty,-2) \ \cup \ [-1, \infty) \ ) \ \cap \ [-3, \infty)=[-3,-2) \ \cup \ [-1, \infty)

Rešiti nejednačinu u drugom slučaju.

\frac {-x-3+x}{x+2}\ge1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {-x-3+x}{x+2}-1\ge0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {-x-5}{x+2}\ge0

Pomnožiti izraz sa $-1$ i promeniti smer znaka nejednakosti, usled množenja nejednačine negativnim brojem.

\frac {x+5}{x+2}\le0

x\in(-\infty, -5]

x\in[-5,-2)

x\in(-2, \infty)

x+5

-

+

+

x+2

-

-

+

\frac {x+5}{x+2}

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele i naći presek sa uslovom $x<-3:$

x\in[-5,-2) \ \cap \ (-\infty, -3)= [-5,-2)

Pronaći uniju rešenja oba slučaja.

x\in ( \ [-3,-2) \ \cup \ [-1, \infty) \ ) \ \cup \ [-5,-2)=[-5,-2) \ \cup \ [-1, \infty)

$\frac {|x+3|+x}{x+2}\ge1$