Iracionalna nejednačina: 3 puta koren veći od 4x − 2

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

3\sqrt{-x^2+x+6}>4x-2

REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

-x^2+x+6\ge0 \implies x\in[-2,3]

Podeliti izraz sa $3.$

\sqrt{-x^2+x+6}>\frac{4x}3-\frac23

Nejednačina oblika $\sqrt{a(x)} > b(x)$ ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

\Big(\ a(x)>b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \Big) \lor \Big(\ a(x) \ge0 \ \land \ b(x)<0\ \Big)

\Big( \ -x^2+x+6>\bigg(\frac{4x}3-\frac23\bigg)^2 \ \land \ \frac{4x}3-\frac23\ge0 \ \Big) \quad \lor \quad \Big(\ -x^2+x+6 \ge 0 \ \land \ \frac{4x}3-\frac23<0\ \Big) \\ \Big( \ x^2-x-2>0 \ \land \ 4x \ge 2 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ (x-3)(x+2) \ge 0 \ \land \ 4x<2\ \Big) \\ \Big( \ x\in(-1,2) \ \land \ x \ge \frac 12 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x\in[-2,3] \ \land \ x<\frac 12\ \Big) \\

Naći presek rešenja slučajeva nejednačine i uslova $x\in[-2,3] .$

x\in[-2,2) \ \cap\ [-2,3]=[-2,2)

$3\sqrt{-x^2+x+6}>4x-2$