Iracionalna nejednačina sa razlomkom pod korenom

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt{\frac {x^2-4x+7}{x-2} }<2

REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

\frac {x^2-4x+7}{x-2} >0 \implies x>2

Kvadrirati izraz.

\frac {x^2-4x+7}{x-2} <4

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {x^2-4x+7}{x-2} -4<0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {x^2-8x+15} {x-2}<0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-8$ i $c=15$

x^2-8x+15= 0 \\ x_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot15}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{64-60}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {8\pm 2} {2} \\ x_1=3\quad \lor \quad x_2=5

Rastaviti brojilac po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

\frac {(x-3)(x-5)} {x-2}<0

x\in(-\infty, 2)

x\in(2,3)

x\in(3,5)

x\in(5,\infty)

x-3

-

-

+

+

x-5

-

-

-

+

x-2

-

+

+

+

\frac {(x-3)(x-5)} {x-2}

-

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in(-\infty, 2) \ \cup \ (3,5)

Naći presek rešenja nejednačine i uslova $x>2.$

x\in( \ (-\infty, 2) \ \cup \ (3,5) \ ) \ \cap \ (2,\infty)=(3,5)

$\sqrt{\frac {x^2-4x+7}{x-2} }<2$