Iracionalna nejednačina sa korenom iz 1 − x na 2

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x\le\frac 1{\sqrt3}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

1-x^2\ge0 \quad\land\quad x\not=0 \implies x\in[-1,) \ \cup \ (0,1]

Racionalisati razlomak.

\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x\le\frac {\sqrt3}3

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x-\frac {\sqrt3}3\le0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

\frac {3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3}{3x}\le0

Jednačina se može podeliti u dva slučaja:

1. \quad 3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3\ge0 \quad \land\quad 3x<0 \\ 2. \quad 3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3\le0 \quad\land\quad 3x>0 \\ \\ 1. \quad 3-x\sqrt3\ge3\sqrt{1-x^2} \quad \land\quad x<0 \\ 2. \quad 3-x\sqrt3\le-3\sqrt{1-x^2} \quad\land\quad x>0

Nejednačina oblika $\sqrt{a(x)} \le b(x)$ ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

\Big(\ a(x)\le b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \Big) \lor \Big(\ a(x) \ge 0 \ \land \ b(x)<0\ \Big)

\sqrt{1-x^2}\le \frac{x\sqrt3} 3-1 \\ \Big( \ 1-x^2\le(\frac{x\sqrt3} 3-1)^2 \ \land \ \frac{x\sqrt3} 3-1\ge0 \ \Big) \quad \lor \quad \Big(\ 1-x^2\ge0 \ \land \ x-9<0\ \Big) \\ \Big( \ 18x>90 \ \land \ x \ge 9 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x^2-9 \ge 0 \ \land \ x<9\ \Big) \\ \Big( \ x>5 \ \land \ x \ge 9 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x \le -3 \ \ \land \ x \ge 3 \ \land \ x<9\ \Big) \\ \ x \ge 9 \quad \lor \quad \Big(\ x \le -3 \ \ \land \ x \ge 3 \ \land \ x<9\ \Big)

$\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x\le\frac 1{\sqrt3}$