Podeli

677.
Iracionalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt{x+6}>\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x+6\ge0 \quad\land\quad x+1\ge0 \quad\land\quad2x-5\ge0 \implies x\ge\frac52

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{x+6})^2>(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5})^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

x+6>x+1+2\cdot\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2x-5} +2x-5 \\ -2x+10>2\sqrt{(x+1)(2x-5)}

Podeliti izraz sa $2.$

5-x>\sqrt{(x+1)(2x-5)}

Nejednačina oblika $\sqrt{a(x)} < b(x)$ ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

a(x)<b^2(x) \ \land \ b(x)> 0

(x+1)(2x-5)<(5-x)^2 \quad\land\quad 5-x<0 \\ 2x^2-5x+2x-5<25-10x+x^2 \quad\land\quad x<5 \\ x^2+7x-30<0 \quad\land\quad x<5

Pošto je $a=1>0$ i $D=169>0,$ kvadratna funkcija $x^2+7x-30$ je nenegativna za:

x\in(-10,3) \quad\land\quad x<5 \implies x\in(-10,3)

DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=7$ i $c=-30$

x^2+7x-30= 0 \\ x_{1,2}=\frac {-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot(-30)}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {-7\pm\sqrt{49+120}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {-7\pm 13} {2} \\ x_1=-10\quad \lor \quad x_2=3

Naći presek dobijenih rešenja i uslova $x\ge\frac52.$

x\in(-10,3) \ \cap \ x\in[\frac 52,\infty)= [\frac52,3)

677.Iracionalna nejednačina