677.

x+6>x+1+2x−5 \sqrt{x+6}>\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

x+6>x+1+2x−5\sqrt{x+6}>\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5}
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

x+6≥0∧x+1≥0∧2x−5≥0  ⟹  x≥52x+6\ge0 \quad\land\quad x+1\ge0 \quad\land\quad2x-5\ge0 \implies x\ge\frac52

Kvadrirati obe strane.

(x+6)2>(x+1+2x−5)2(\sqrt{x+6})^2>(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-5})^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.

x+6>x+1+2⋅x+1⋅2x−5+2x−5−2x+10>2(x+1)(2x−5)x+6>x+1+2\cdot\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2x-5} +2x-5 \\ -2x+10>2\sqrt{(x+1)(2x-5)}

Podeliti izraz sa 2.2.

5−x>(x+1)(2x−5)5-x>\sqrt{(x+1)(2x-5)}

Nejednačina oblika a(x)<b(x)\sqrt{a(x)} < b(x) ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

a(x)<b2(x) ∧ b(x)>0a(x)<b^2(x) \ \land \ b(x)> 0
(x+1)(2x−5)<(5−x)2∧5−x<02x2−5x+2x−5<25−10x+x2∧x<5x2+7x−30<0∧x<5(x+1)(2x-5)<(5-x)^2 \quad\land\quad 5-x<0 \\ 2x^2-5x+2x-5<25-10x+x^2 \quad\land\quad x<5 \\ x^2+7x-30<0 \quad\land\quad x<5

Pošto je a=1>0a=1>0 i D=169>0,D=169>0, kvadratna funkcija x2+7x−30x^2+7x-30 je nenegativna za:

x∈(−10,3)∧x<5  ⟹  x∈(−10,3)x\in(-10,3) \quad\land\quad x<5 \implies x\in(-10,3)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Naći presek dobijenih rešenja i uslova x≥52.x\ge\frac52.

x∈(−10,3) ∩ x∈[52,∞)=[52,3)x\in(-10,3) \ \cap \ x\in[\frac 52,\infty)= [\frac52,3)