676.

Iracionalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

1−1−x2x≤13\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x\le\frac 1{\sqrt3}
REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

1−x2≥0∧x≠0  ⟹  x∈[−1,) ∪ (0,1]1-x^2\ge0 \quad\land\quad x\not=0 \implies x\in[-1,) \ \cup \ (0,1]

Racionalisati razlomak.

1−1−x2x≤33\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x\le\frac {\sqrt3}3

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

1−1−x2x−33≤0\frac {1-\sqrt{1-x^2}} x-\frac {\sqrt3}3\le0

Svesti na isti imenilac i srediti izraz.

3−31−x2−x33x≤0\frac {3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3}{3x}\le0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina se može podeliti u dva slučaja:

1.3−31−x2−x3≥0∧3x<02.3−31−x2−x3≤0∧3x>01.3−x3≥31−x2∧x<02.3−x3≤−31−x2∧x>01. \quad 3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3\ge0 \quad \land\quad 3x<0 \\ 2. \quad 3-3\sqrt{1-x^2}-x\sqrt3\le0 \quad\land\quad 3x>0 \\ \\ 1. \quad 3-x\sqrt3\ge3\sqrt{1-x^2} \quad \land\quad x<0 \\ 2. \quad 3-x\sqrt3\le-3\sqrt{1-x^2} \quad\land\quad x>0

Nejednačina oblika a(x)≤b(x)\sqrt{a(x)} \le b(x) ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

( a(x)≤b2(x) ∧ b(x)≥0 )∨( a(x)≥0 ∧ b(x)<0 )\Big(\ a(x)\le b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \Big) \lor \Big(\ a(x) \ge 0 \ \land \ b(x)<0\ \Big)
1−x2≤x33−1( 1−x2≤(x33−1)2 ∧ x33−1≥0 )∨( 1−x2≥0 ∧ x−9<0 )( 18x>90 ∧ x≥9 )∨( x2−9≥0 ∧ x<9 )( x>5 ∧ x≥9 )∨( x≤−3  ∧ x≥3 ∧ x<9 ) x≥9∨( x≤−3  ∧ x≥3 ∧ x<9 )\sqrt{1-x^2}\le \frac{x\sqrt3} 3-1 \\ \Big( \ 1-x^2\le(\frac{x\sqrt3} 3-1)^2 \ \land \ \frac{x\sqrt3} 3-1\ge0 \ \Big) \quad \lor \quad \Big(\ 1-x^2\ge0 \ \land \ x-9<0\ \Big) \\ \Big( \ 18x>90 \ \land \ x \ge 9 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x^2-9 \ge 0 \ \land \ x<9\ \Big) \\ \Big( \ x>5 \ \land \ x \ge 9 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x \le -3 \ \ \land \ x \ge 3 \ \land \ x<9\ \Big) \\ \ x \ge 9 \quad \lor \quad \Big(\ x \le -3 \ \ \land \ x \ge 3 \ \land \ x<9\ \Big)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti