Jednačina sa četvrtim korenima: rešenje −17/15

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt[4]{(x-1)^2}-\sqrt[4]{(x+1)^2}=\frac 32\sqrt[4]{x^2-1}

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

x^2-1\ge0 \implies x\in(-\infty, -1] \ \cup \ [1, \infty)

Pošto su izrazi $(x-1)^2$ i $(x+1)^2$ uvek pozitivni, nema potrebe za dodatnom proverom njihovih definisanosti.

Podeliti izraz sa $\sqrt[4]{x^2-1}, \ x\not=\pm1 .$

\sqrt[4]{\frac{(x-1)^2} {x^2-1}}-\sqrt[4]{\frac{(x+1)^2}{x^2-1}}=\frac 32

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ i skratiti zajedničke činioce.

\sqrt[4]{\frac{(x-1)^2} {(x-1)(x+1)}}-\sqrt[4]{\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}}=\frac 32 \\ \sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}-\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=\frac 32

Uvesti smenu $\sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}=t, \ \ t>0 .$

t-t^{-1}=\frac{3}{2} \\ t-\frac{1}{t} = \frac{3}{2}

Pomnožiti izraz sa $2t.$

2t^2-3t-2=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-3$ i $c=-2$

2t^2-3t-2= 0 \\ t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)}} {2\cdot2} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{9+16}} {4} \\ t_{1,2}=\frac {3\pm 5} {4} \\ t_1=2 \quad \lor \quad t_2=-\frac 12

Rešenje $t_2=-\frac 12$ ne zadovoljava uslovu $t>0,$ tako da se ono odbacuje.

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

\sqrt[4]{\frac{x-1} {x+1}}=2

Rešavanjem jednačine dobija se:

x=-\frac {17} {15}

$\sqrt[4]{(x-1)^2}-\sqrt[4]{(x+1)^2}=\frac 32\sqrt[4]{x^2-1}$