Jednačina sa razlomcima: rešenje minus 2/5

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\frac{2x+1}{x-1}+\frac{x-1}{2x+1}=\frac{5x+4}{(x-1)(2x+1)}

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

(x-1)(2x+1)\not = 0 \\ x\not =1, \quad x\not= -\frac{1}{2}

Dovesti razlomke na zajednički imenilac $(x-1)(2x+1)$

\frac{(2x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)(2x+1)}=\frac{5x+4}{(x-1)(2x+1)}

Primeniti formulu za kvadrat zbira, tj. razlike binoma $(a \pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$

\frac{4x^2+4x+1+x^2-2x+1}{(x-1)(2x+1)}=\frac{5x+4}{(x-1)(2x+1)}

Prebaciti sve članove na jednu stranu jednakosti:

\frac{5x^2+2x+2}{(x-1)(2x+1)}-\frac{5x+4}{(x-1)(2x+1)}=0

Razlomak je jednak nuli kada mu je brojilac jednak nuli.

5x^2-3x-2=0

Srediti izraz:

\frac{5x^2-3x-2}{(x-1)(2x+1)}=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=5,$ $b=-3$ i $c=-2$

x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{9+40} } {2\cdot5} \\ x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{49} } {10} \\ x_{1,2}=\frac{3\pm7}{10}\\ x_1= 1 \quad \lor \quad x_2=-\frac{2}{5}

Rešenje $x_1=1$ odbaciti zbog uslova zadatka pa je konačno rešenje

x=-\frac{2}{5}

$\frac{2x+1}{x-1}+\frac{x-1}{2x+1}=\frac{5x+4}{(x-1)(2x+1)}$