Logaritamske jednačine

Primer 1: Odrediti domen jednačine $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1$

Oba argumenta moraju biti pozitivna:

$x + 1 > 0 \implies x > -1$

$x + 3 > 0 \implies x > -3$

Presek: $x > -1$, dakle $D = (-1, +\infty)$

Primer 3: Odrediti domen jednačine $\log_x(x + 6) = 2$

Argument mora biti pozitivan:

$x + 6 > 0 \implies x > -6$

Osnova mora biti pozitivna i različita od 1:

$x > 0 \quad \text{i} \quad x \neq 1$

Presek sva tri uslova: $D = (0, 1) \cup (1, +\infty)$

Primer: $\log_3(5 + 4\log_3(x-1)) = 2$

Domen:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

$5 + 4\log_3(x-1) > 0 \implies \log_3(x-1) > -\frac{5}{4} \implies x > 1 + 3^{-5/4}$

Stroži uslov je $x > 1 + 3^{-5/4}$. Presek: $D = (1 + 3^{-5/4}, +\infty)$

Korak 1. Primeniti definiciju na spoljašnji logaritam:

$5 + 4\log_3(x-1) = 3^2 = 9$

Korak 2. Rešiti po unutrašnjem logaritmu:

$4\log_3(x-1) = 4 \implies \log_3(x-1) = 1$

Korak 3. Primeniti definiciju ponovo:

$x - 1 = 3^1 = 3 \implies x = 4$

Provera: $4 > 1 + 3^{-5/4}$ ✓. $\boxed{x = 4}$

Primer 1: $\lg(x + 1{,}5) = -\lg x$

Domen:

$x + 1{,}5 > 0 \implies x > -1{,}5$

$x > 0$

Presek: $x \in (0, +\infty)$

Korak 1. Transformisati desnu stranu koristeći $-\lg x = \lg x^{-1}$:

$\lg(x + 1{,}5) = \lg \frac{1}{x}$

Korak 2. Osnove su jednake, izjednačiti argumente:

$x + 1{,}5 = \frac{1}{x} \implies x^2 + 1{,}5x - 1 = 0$

$x_{1,2} = \frac{-1{,}5 \pm 2{,}5}{2} \implies x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = -2$

Provera: $x_2 = -2 \notin (0, +\infty)$.

Rešenje je $\boxed{x = 0{,}5}$.

Primer 2: $\log_2 x - 2\log_8 x + \log_{\sqrt{2}} 2x = \dfrac{20}{3}$

Domen:

$x > 0 \quad \text{i} \quad 2x > 0$

Presek: $x \in (0, +\infty)$

Korak 1. Sve prevesti na osnovu 2 primenom osnovnih pravila za logaritme:

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3}\log_2 x$

$\log_{\sqrt{2}} 2x = \log_{2^{1/2}} 2x = 2\log_2 2x = 2(\log_2 2 + \log_2 x) = 2(1 + \log_2 x)$

Korak 2. Zameniti i srediti po $\log_2 x$:

$\log_2 x - \frac{2}{3}\log_2 x + 2 + 2\log_2 x = \frac{20}{3}$

$\frac{7}{3}\log_2 x = \frac{14}{3} \implies \log_2 x = 2 \implies \boxed{x = 4}$

Primer: $\log_4\log_3\log_2 x = 0$

Domen:

Najunutrašnjiji argument: $x > 0$

Sledeći sloj: $\log_2 x > 0 \implies x > 2^0 \implies x > 1$

Spoljašnji sloj: $\log_3\log_2 x > 0 \implies \log_2 x > 3^0 \implies \log_2 x > 1 \implies x > 2^1 \implies x > 2$

Presek: $x \in (2, +\infty)$

Korak 1. Ukloniti spoljašnji logaritam (osnova 4):

$\log_3\log_2 x = 4^0 = 1$

Korak 2. Ukloniti srednji logaritam (osnova 3):

$\log_2 x = 3^1 = 3$

Korak 3. Ukloniti unutrašnji logaritam (osnova 2):

$x = 2^3 = \boxed{8}$

Provera: $8 > 2$ ✓

Primer: $\log_{1/3} x - 5\sqrt{\log_{1/3} x} + 4 = 0$

Domen:

$x > 0$

Izraz pod korenom mora biti nenegativan: $\log_{1/3} x \geq 0$. Pošto je osnova $\frac{1}{3} < 1$, funkcija je opadajuća:

$\log_{1/3} x \geq 0 \iff x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$

Presek: $x \in (0, 1]$

Smena: $t = \sqrt{\log_{1/3} x}$, uz uslov $t \geq 0$. Tada je $\log_{1/3} x = t^2$:

$t^2 - 5t + 4 = 0 \implies t_1 = 4, \quad t_2 = 1$

Korak 1. Za $t_1 = 4$:

$\sqrt{\log_{1/3} x} = 4 \implies \log_{1/3} x = 16 \implies x_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^{16}$

Korak 2. Za $t_2 = 1$:

$\sqrt{\log_{1/3} x} = 1 \implies \log_{1/3} x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Oba rešenja su u $(0, 1]$. $\boxed{x \in \left\{\dfrac{1}{3^{16}},\; \dfrac{1}{3}\right\}}$