2261. Logaritamske jednačine

Primenjujemo definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b$ na spoljašnji logaritam sa osnovom 4.

2 \log_3(1 + \log_2(1 + 3 \log_3 x)) = 4^{\frac{1}{2}}

Pošto je $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 ,$ jednačina postaje:

2 \log_3(1 + \log_2(1 + 3 \log_3 x)) = 2

Delimo obe strane jednačine brojem 2.

\log_3(1 + \log_2(1 + 3 \log_3 x)) = 1

Ponovo primenjujemo definiciju logaritma, ovog puta za osnovu 3.

1 + \log_2(1 + 3 \log_3 x) = 3^1

Oduzimamo 1 od obe strane jednačine.

\log_2(1 + 3 \log_3 x) = 2

Primenjujemo definiciju logaritma za osnovu 2.

1 + 3 \log_3 x = 2^2

Sređujemo izraz i izolujemo logaritam.

3 \log_3 x = 4 - 1 \\ 3 \log_3 x = 3

Delimo jednačinu sa 3.

\log_3 x = 1

Konačno, primenjujemo definiciju logaritma da odredimo vrednost nepoznate $x .$

x = 3^1 \\ x = 3

Proveravamo da li rešenje zadovoljava uslove definisanosti (argumenti logaritama moraju biti pozitivni). Za $x = 3 ,$ svi argumenti su pozitivni, pa je rešenje validno.

x = 3

527.đ