2262. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti pozitivan, a osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1.

\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}

Iz uslova dobijamo da $x > -2 ,$ $x > 0$ i $x \neq 1 .$ Presek ovih uslova daje domen:

D: x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ i osobinu $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$ Primetimo da je $4 = 2^2 .$

\log_{2^2}(x + 2) \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 1

Sređujemo izraz izvlačenjem konstante ispred logaritma:

\frac{1}{2} \log_2(x + 2) \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 1

Množimo jednačinu sa $2 \log_2 x$ kako bismo eliminisali razlomke:

\log_2(x + 2) = 2 \log_2 x

Primenjujemo osobinu logaritma $n \log_a b = \log_a b^n :$

\log_2(x + 2) = \log_2 x^2

Pošto su osnove logaritama iste, izjednačavamo argumente:

x + 2 = x^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu da dobijemo kvadratnu jednačinu:

x^2 - x - 2 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $D: x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) .$ Rešenje $x = -1$ ne pripada domenu, dok rešenje $x = 2$ pripada.

x = 2

530.a