2264. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan.

x > 0, \quad x \neq 1

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ i pravilo za osnovu koja je stepen $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$ Transformišemo jednačinu tako da svi logaritmi imaju istu osnovu.

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}, \quad \log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu.

\frac{1}{\log_2 x} - \frac{1}{2} \log_2 x + \frac{7}{6} = 0

Uvodimo smenu $t = \log_2 x .$

\frac{1}{t} - \frac{t}{2} + \frac{7}{6} = 0

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem $6t$ (uz uslov $t \neq 0 ,$ što odgovara $x \neq 1$ ) kako bismo se oslobodili razlomaka.

6 - 3t^2 + 7t = 0 \implies 3t^2 - 7t - 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu.

t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \frac{7 \pm 11}{6}

Dobijamo dve vrednosti za $t .$

t_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad t_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}

Vraćamo smenu $\log_2 x = t$ za obe vrednosti.

\begin{cases} \log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8 \\ \log_2 x = -\frac{2}{3} \implies x = 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \end{cases}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x > 0, x \neq 1 .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslove.

x_1 = 8, \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}

529.g