2263. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 + 4 \log_3(x - 1) > 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu domena.

x - 1 > 0 \implies x > 1

Rešavamo drugu nejednačinu domena.

4 \log_3(x - 1) > -5 \implies \log_3(x - 1) > -\frac{5}{4} \implies x - 1 > 3^{-\frac{5}{4}}

Pošto je $3^{-\frac{5}{4}} > 0 ,$ uslov $x > 1 + 3^{-\frac{5}{4}}$ je stroži od $x > 1 ,$ pa je domen:

D: x \in (1 + 3^{-\frac{5}{4}}, +\infty)

Primenjujemo definiciju logaritma na spoljašnji logaritam.

5 + 4 \log_3(x - 1) = 3^2

Sređujemo jednačinu.

5 + 4 \log_3(x - 1) = 9 \implies 4 \log_3(x - 1) = 4

Delimo jednačinu sa 4.

\log_3(x - 1) = 1

Ponovo primenjujemo definiciju logaritma.

x - 1 = 3^1 \implies x - 1 = 3

Računamo konačnu vrednost nepoznate $x .$

x = 4

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $4 > 1 + 3^{-\frac{5}{4}} ,$ rešenje je validno.

x = 4

2263.Logaritamske jednačine