PrethodniSledeći
2263.

527.d

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku jednačinu: log⁡3(5+4log⁡3(x−1))=2. \log_3(5 + 4 \log_3(x - 1)) = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

{x−1>05+4log⁡3(x−1)>0\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 + 4 \log_3(x - 1) > 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu domena.

x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1

Rešavamo drugu nejednačinu domena.

4log⁡3(x−1)>−5  ⟹  log⁡3(x−1)>−54  ⟹  x−1>3−544 \log_3(x - 1) > -5 \implies \log_3(x - 1) > -\frac{5}{4} \implies x - 1 > 3^{-\frac{5}{4}}

Pošto je 3−54>0, 3^{-\frac{5}{4}} > 0 , uslov x>1+3−54 x > 1 + 3^{-\frac{5}{4}} je stroži od x>1, x > 1 , pa je domen:

D:x∈(1+3−54,+∞)D: x \in (1 + 3^{-\frac{5}{4}}, +\infty)

Primenjujemo definiciju logaritma na spoljašnji logaritam.

5+4log⁡3(x−1)=325 + 4 \log_3(x - 1) = 3^2

Sređujemo jednačinu.

5+4log⁡3(x−1)=9  ⟹  4log⁡3(x−1)=45 + 4 \log_3(x - 1) = 9 \implies 4 \log_3(x - 1) = 4

Delimo jednačinu sa 4.

log⁡3(x−1)=1\log_3(x - 1) = 1

Ponovo primenjujemo definiciju logaritma.

x−1=31  ⟹  x−1=3x - 1 = 3^1 \implies x - 1 = 3

Računamo konačnu vrednost nepoznate x. x .

x=4x = 4

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je 4>1+3−54, 4 > 1 + 3^{-\frac{5}{4}} , rešenje je validno.

x=4x = 4

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu