2278. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1.

x - 1 > 0 \quad \text{i} \quad x - 1 \neq 1

Rešavamo uslove domena:

x > 1 \quad \text{i} \quad x \neq 2 \implies x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)

Koristimo definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b$ da transformišemo jednačinu.

(x - 1)^2 = 3

Korenujemo obe strane jednačine, vodeći računa o pozitivnom i negativnom rešenju.

x - 1 = \sqrt{3} \quad \text{ili} \quad x - 1 = -\sqrt{3}

Računamo vrednosti za $x :$

x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty) .$ Kako je $\sqrt{3} \approx 1.73 ,$ imamo:

x_1 = 1 + 1.73 = 2.73 \in \text{Domen} \\ x_2 = 1 - 1.73 = -0.73 \notin \text{Domen}

Konačno rešenje jednačine je:

x = 1 + \sqrt{3}

527.g