2285. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x^2 + 11x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases}

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_{1/a} b = -\log_a b$ kako bismo sveli oba logaritma na istu osnovu 10:

\log_{1/10} x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 10^{-1}} = -\log_{10} x

Zamenjujemo transformisani logaritam u početnu jednačinu:

\log_{10}(x^2 + 11x - 2) - \log_{10} x = 1

Primenjujemo pravilo za razliku logaritama $\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} :$

\log_{10} \left( \frac{x^2 + 11x - 2}{x} \right) = 1

Na osnovu definicije logaritma, oslobađamo se logaritamske funkcije:

\frac{x^2 + 11x - 2}{x} = 10^1

Množimo celu jednačinu sa $x$ (uz uslov $x > 0$ iz domena) i sređujemo kvadratnu jednačinu:

x^2 + 11x - 2 = 10x \implies x^2 + x - 2 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2

Proveravamo rešenja u odnosu na domen. Pošto je uslov $x > 0 ,$ rešenje $x = -2$ se odbacuje. Za $x = 1$ proveravamo prvi uslov:

1^2 + 11(1) - 2 = 1 + 11 - 2 = 10 > 0

Konačno rešenje jednačine je:

x = 1

531.k