2287. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Izrazi pod korenom i unutar logaritma moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x - 5 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases}

Presekom ovih uslova dobijamo domen jednačine:

D: x \in (5, +\infty)

Transformišemo broj 1 u logaritam sa osnovom 10 kako bismo mogli da primenimo pravila logaritmovanja:

1 = \lg 10

Zamenjujemo vrednost u početnu jednačinu i koristimo pravilo za zbir logaritama $\lg A + \lg B + \lg C = \lg(A \cdot B \cdot C) :$

\lg (\sqrt{x - 5} \cdot \sqrt{2x - 3} \cdot 10) = \lg 30

Pošto su osnove logaritama iste, možemo izjednačiti numeruse (argumente):

10 \sqrt{(x - 5)(2x - 3)} = 30

Delimo celu jednačinu sa 10:

\sqrt{(x - 5)(2x - 3)} = 3

Kvadriramo obe strane jednačine:

(x - 5)(2x - 3) = 9

Množimo zagrade i sređujemo kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 3x - 10x + 15 = 9 \\ 2x^2 - 13x + 6 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{13 + 11}{4} = 6, \quad x_2 = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = 0.5

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x > 5 :$

x_1 = 6 \in (5, +\infty) \quad (\text{prihvatamo}) \\ x_2 = 0.5 \notin (5, +\infty) \quad (\text{odbacujemo})

Konačno rešenje jednačine je:

x = 6

2287.Logaritamske jednačine