2291. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a numerus mora biti pozitivan.

1-x > 0 \quad \text{i} \quad 1-x \neq 1

Rešavanjem ovih uslova dobijamo domen:

x < 1 \quad \text{i} \quad x \neq 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)

Koristimo pravilo za razliku logaritama sa istom osnovom: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} .$

\log_{1-x} \left( \frac{3}{2} \right) - 0,5 = 0

Prebacujemo konstantu na desnu stranu i pišemo 0,5 kao razlomak.

\log_{1-x} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{1}{2}

Primenjujemo definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b .$

(1-x)^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}

Pošto je $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} ,$ jednačina postaje:

\sqrt{1-x} = \frac{3}{2}

Kvadriramo obe strane jednačine.

1-x = \left( \frac{3}{2} \right)^2

Računamo vrednost kvadrata i rešavamo po $x .$

1-x = \frac{9}{4} \implies x = 1 - \frac{9}{4}

Dobijamo konačnu vrednost za $x .$

x = -\frac{5}{4}

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) .$ Kako je $-1,25$ u navedenom intervalu, rešenje je validno.

x = -\frac{5}{4}

531.i