2284.

Logaritamske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti logaritamsku jednačinu: 2log⁡2x−7x−1+log⁡2x−1x+1=1 2 \log_2 \frac{x - 7}{x - 1} + \log_2 \frac{x - 1}{x + 1} = 1

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

{x−7x−1>0x−1x+1>0\begin{cases} \frac{x - 7}{x - 1} > 0 \\ \frac{x - 1}{x + 1} > 0 \end{cases}
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,7)x \in (1, 7)
x∈(7,+∞)x \in (7, +\infty)
x−7x-7
− -
− -
− -
+ +
x−1x-1
− -
− -
+ +
+ +
x+1x+1
− -
+ +
+ +
+ +
x−7x−1\frac{x-7}{x-1}
+ +
+ +
− -
+ +
x−1x+1\frac{x-1}{x+1}
+ +
− -
+ +
+ +

Presekom uslova dobijamo domen jednačine:

Df:x∈(−∞,−1)∪(7,+∞)D_f: x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty)

Koristimo pravilo za stepen logaritma nlog⁡ab=log⁡abn n \log_a b = \log_a b^n na prvi sabirak:

log⁡2(x−7x−1)2+log⁡2x−1x+1=1\log_2 \left( \frac{x - 7}{x - 1} \right)^2 + \log_2 \frac{x - 1}{x + 1} = 1

Koristimo pravilo za zbir logaritama log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(b⋅c): \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) :

log⁡2((x−7)2(x−1)2⋅x−1x+1)=1\log_2 \left( \frac{(x - 7)^2}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \right) = 1

Skraćujemo razlomak i primenjujemo definiciju logaritma log⁡af(x)=b  ⟹  f(x)=ab: \log_a f(x) = b \implies f(x) = a^b :

(x−7)2(x−1)(x+1)=21\frac{(x - 7)^2}{(x - 1)(x + 1)} = 2^1

Sređujemo jednačinu koristeći razliku kvadrata u imeniocu:

x2−14x+49x2−1=2\frac{x^2 - 14x + 49}{x^2 - 1} = 2

Množimo celu jednačinu sa x2−1 x^2 - 1 (uz uslov da je različito od nule, što je pokriveno domenom):

x2−14x+49=2(x2−1)x2−14x+49=2x2−2x^2 - 14x + 49 = 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 14x + 49 = 2x^2 - 2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

x2+14x−51=0x^2 + 14x - 51 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x1,2=−14±142−4⋅1⋅(−51)2⋅1x1,2=−14±196+2042x1,2=−14±202x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 204}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{-14 \pm 20}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=62=3,x2=−342=−17x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-34}{2} = -17

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu Df:x∈(−∞,−1)∪(7,+∞): D_f: x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty) :

3∉Df−17∈Df3 \notin D_f \\ -17 \in D_f

Jedino validno rešenje jednačine je:

x=−17x = -17

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti