2284. Logaritamske jednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} \frac{x - 7}{x - 1} > 0 \\ \frac{x - 1}{x + 1} > 0 \end{cases}

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 1)

x \in (1, 7)

x \in (7, +\infty)

x-7

-

-

-

+

x-1

-

-

+

+

x+1

-

+

+

+

\frac{x-7}{x-1}

+

+

-

+

\frac{x-1}{x+1}

+

-

+

+

Presekom uslova dobijamo domen jednačine:

D_f: x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty)

Koristimo pravilo za stepen logaritma $n \log_a b = \log_a b^n$ na prvi sabirak:

\log_2 \left( \frac{x - 7}{x - 1} \right)^2 + \log_2 \frac{x - 1}{x + 1} = 1

Koristimo pravilo za zbir logaritama $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) :$

\log_2 \left( \frac{(x - 7)^2}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} \right) = 1

Skraćujemo razlomak i primenjujemo definiciju logaritma $\log_a f(x) = b \implies f(x) = a^b :$

\frac{(x - 7)^2}{(x - 1)(x + 1)} = 2^1

Sređujemo jednačinu koristeći razliku kvadrata u imeniocu:

\frac{x^2 - 14x + 49}{x^2 - 1} = 2

Množimo celu jednačinu sa $x^2 - 1$ (uz uslov da je različito od nule, što je pokriveno domenom):

x^2 - 14x + 49 = 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 14x + 49 = 2x^2 - 2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

x^2 + 14x - 51 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 204}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{-14 \pm 20}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-34}{2} = -17

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $D_f: x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty) :$

3 \notin D_f \\ -17 \in D_f

Jedino validno rešenje jednačine je:

x = -17

531.z