2283. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne vrednosti argumenta. Kako su izrazi $4^{x-2} + 9$ i $2^{x-2} + 1$ uvek pozitivni za svako realno $x ,$ domen je skup svih realnih brojeva.

x \in \mathbb{R}

Koristimo pravilo za zbir logaritama $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$ na levoj strani jednačine, a broj 1 na desnoj strani zapisujemo kao $\lg 10 .$

\lg [2(4^{x-2} + 9)] = \lg 10 + \lg(2^{x-2} + 1)

Sada primenjujemo isto pravilo za zbir logaritama na desnu stranu jednačine.

\lg (2 \cdot 4^{x-2} + 18) = \lg [10(2^{x-2} + 1)]

Pošto su logaritmi sa istom osnovom jednaki, njihovi argumenti moraju biti jednaki. Oslobađamo se logaritama.

2 \cdot 4^{x-2} + 18 = 10(2^{x-2} + 1)

Sređujemo jednačinu koristeći osobinu stepenovanja $4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = (2^{x-2})^2 .$ Uvodimo smenu $t = 2^{x-2} ,$ gde je $t > 0 .$

2t^2 + 18 = 10(t + 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu i delimo jednačinu sa 2 kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

2t^2 - 10t + 8 = 0 \implies t^2 - 5t + 4 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po formuli $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = 4, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 4 .$

2^{x-2} = 4 \implies 2^{x-2} = 2^2 \implies x-2 = 2 \implies x_1 = 4

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 .$

2^{x-2} = 1 \implies 2^{x-2} = 2^0 \implies x-2 = 0 \implies x_2 = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{2, 4\}

Započni učenje

Online grupni časovi

2283.
Logaritamske jednačine

2283.Logaritamske jednačine

2283.
Logaritamske jednačine