2290. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni, a potkorena veličina nenegativna.

\begin{cases} x - 8 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x :$

\begin{cases} x > 8 \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \implies x \in (8, +\infty)

Koristimo osobinu logaritma $\lg \sqrt{a} = \lg a^{1/2} = \frac{1}{2} \lg a$ da transformišemo prvi član jednačine.

\frac{1}{2} \lg(x - 8) + \frac{1}{2} \lg(2x + 1) = 1

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo eliminisali razlomke.

\lg(x - 8) + \lg(2x + 1) = 2

Primenjujemo pravilo za zbir logaritama: $\lg A + \lg B = \lg(A \cdot B) .$

\lg((x - 8)(2x + 1)) = 2

Po definiciji logaritma (osnova je 10), oslobađamo se logaritamske funkcije.

(x - 8)(2x + 1) = 10^2

Sređujemo kvadratnu jednačinu množenjem zagrada.

2x^2 + x - 16x - 8 = 100 \\ 2x^2 - 15x - 108 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine.

D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-108) = 225 + 864 = 1089

Računamo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu, uzimajući u obzir da je $\sqrt{1089} = 33 .$

x_{1,2} = \frac{15 \pm 33}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja.

x_1 = \frac{15 + 33}{4} = \frac{48}{4} = 12 \\ x_2 = \frac{15 - 33}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $x \in (8, +\infty) .$ Rešenje $x_2 = -4.5$ ne pripada domenu, dok rešenje $x_1 = 12$ pripada.

x = 12

531.e