2282. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Izrazi pod logaritmom i pod korenom moraju biti pozitivni.

\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 11 - x > 0 \end{cases}

Rešavanjem sistema nejednačina dobijamo uslov za domen.

\begin{cases} x < 5 \\ x < 11 \end{cases} \implies x \in (-\infty, 5)

Koristimo osobinu logaritma $n \log_a b = \log_a b^n$ na drugi član jednačine i transformišemo broj 1 u logaritam sa osnovom 2.

2 \log_2 \sqrt{5 - x} = \log_2 (\sqrt{5 - x})^2 = \log_2 (5 - x) \\ 1 = \log_2 2

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu.

\log_2 182 - \log_2 (5 - x) = \log_2 (11 - x) + \log_2 2

Primenjujemo pravila za razliku i zbir logaritama: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ i $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) .$

\log_2 \frac{182}{5 - x} = \log_2 [2(11 - x)]

Oslobađamo se logaritama (antilogaritmovanje) jer su osnove iste.

\frac{182}{5 - x} = 2(11 - x)

Delimo celu jednačinu sa 2 i množimo sa $5 - x$ (uz uslov $x \neq 5$ koji je već u domenu).

91 = (11 - x)(5 - x)

Množimo zagrade i sređujemo kvadratnu jednačinu.

91 = 55 - 11x - 5x + x^2 \\ x^2 - 16x - 36 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule.

x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{16 \pm 20}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja.

x_1 = \frac{36}{2} = 18 \\ x_2 = \frac{-4}{2} = -2

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $x \in (-\infty, 5) .$ Rešenje $x_1 = 18$ ne pripada domenu, dok rešenje $x_2 = -2$ pripada.

x = -2

531.đ