2258. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Svi argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x > 0 \\ x - \frac{1}{2} > 0 \\ x + \frac{1}{2} > 0 \\ x + \frac{1}{8} > 0 \end{cases}

Rešavanjem sistema nejednačina dobijamo uslov za domen:

x > \frac{1}{2}

Sredimo jednačinu tako što ćemo članove sa koeficijentom $\frac{1}{2}$ prebaciti na jednu stranu, a ostale na drugu:

\lg x - \lg\left(x + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \lg\left(x - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \lg\left(x + \frac{1}{8}\right)

Primenimo pravila za logaritam količnika $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$ i izvučemo zajednički faktor:

\lg \frac{x}{x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \lg \frac{x - \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{8}}

Pomnožimo celu jednačinu sa 2 kako bismo uklonili razlomak ispred logaritma:

2 \lg \frac{x}{x + \frac{1}{2}} = \lg \frac{x - \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{8}}

Primenimo pravilo $n \lg a = \lg a^n :$

\lg \left( \frac{x}{x + \frac{1}{2}} \right)^2 = \lg \frac{x - \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{8}}

Antilogaritmovanjem (uklanjanjem logaritama) dobijamo racionalnu jednačinu:

\frac{x^2}{(x + \frac{1}{2})^2} = \frac{x - \frac{1}{2}}{x + \frac{1}{8}}

Unakrsno pomnožimo članove:

x^2 \left(x + \frac{1}{8}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{1}{2}\right)^2

Sredimo izraze koristeći kvadrat binoma i razliku kvadrata:

x^3 + \frac{1}{8}x^2 = (x - \frac{1}{2})(x^2 + x + \frac{1}{4})

Izmnožimo zagrade na desnoj strani:

x^3 + \frac{1}{8}x^2 = x^3 + x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}

Potiremo $x^3$ i grupišemo sve članove na jednu stranu:

\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{1}{8}

Pomnožimo celu jednačinu sa 8 da bismo radili sa celim brojevima:

x^2 = 4x^2 - 2x - 1 \implies 3x^2 - 2x - 1 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}

Proveravamo rešenja u odnosu na domen $x > \frac{1}{2} .$ Rešenje $x_2 = -\frac{1}{3}$ ne pripada domenu, dok rešenje $x_1 = 1$ pripada.

x = 1

531.d