2271. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule.

\begin{cases} 2^x - 1 > 0 \\ 2^x - 7 > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x :$

\begin{cases} 2^x > 1 \\ 2^x > 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \log_2 7 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

D_f: x \in (\log_2 7, +\infty)

Koristimo pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom: $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) .$

\log_7((2^x - 1)(2^x - 7)) = 1

Na osnovu definicije logaritma, oslobađamo se logaritamske funkcije:

(2^x - 1)(2^x - 7) = 7^1

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ pri čemu je $t > 0 .$

(t - 1)(t - 7) = 7

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 - 7t - t + 7 = 7 \implies t^2 - 8t = 0

Faktorišemo jednačinu i nalazimo rešenja za $t :$

t(t - 8) = 0 \implies t_1 = 0, \quad t_2 = 8

Vraćamo smenu. Kako je uslov $t > 0 ,$ rešenje $t_1 = 0$ odbacujemo.

2^x = 8

Računamo vrednost $x :$

2^x = 2^3 \implies x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x > \log_2 7 .$ Pošto je $3 = \log_2 8$ i $8 > 7 ,$ rešenje je validno.

x = 3

2271.Logaritamske jednačine