2272. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Svi argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:

\begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x > 0 \\ \log_3 \log_2 x > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina za domen:

\begin{cases} x > 0 \\ x > 2^0 \implies x > 1 \\ \log_2 x > 3^0 \implies \log_2 x > 1 \implies x > 2^1 \implies x > 2 \end{cases}

Dakle, domen jednačine je $x \in (2, +\infty) .$ Sada rešavamo jednačinu koristeći definiciju logaritma $\log_a b = c \iff a^c = b .$ Primenjujemo ovo na spoljašnji logaritam sa osnovom 4:

\log_3 \log_2 x = 4^0

Pošto je $4^0 = 1 ,$ jednačina postaje:

\log_3 \log_2 x = 1

Sada primenjujemo definiciju logaritma na logaritam sa osnovom 3:

\log_2 x = 3^1

Dobijamo jednostavnu logaritamsku jednačinu:

\log_2 x = 3

Konačno, primenjujemo definiciju logaritma poslednji put:

x = 2^3

Računamo vrednost stepena i proveravamo da li rešenje pripada domenu:

x = 8

Pošto je $8 > 2 ,$ rešenje pripada domenu.

x = 8

528.a