2273. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Sve logaritme ćemo svesti na istu osnovu, u ovom slučaju na osnovu 2. Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$ Primetimo da je $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ i $\sqrt{8} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2} .$

\log_{2^{1/2}} x + \log_2 x + \log_{2^{3/2}} x = 11

Primenjujemo pravilo za eksponent osnove logaritma na prvi i treći sabirak.

\frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 x + \log_2 x + \frac{1}{\frac{3}{2}} \log_2 x = 11

Sređujemo dvojne razlomke ispred logaritama.

2 \log_2 x + \log_2 x + \frac{2}{3} \log_2 x = 11

Saberemo koeficijente uz $\log_2 x .$

\left( 2 + 1 + \frac{2}{3} \right) \log_2 x = 11

Računamo vrednost u zagradi.

\frac{6 + 3 + 2}{3} \log_2 x = 11 \implies \frac{11}{3} \log_2 x = 11

Delimo celu jednačinu sa $\frac{11}{3}$ (odnosno množimo sa $\frac{3}{11}$ ) kako bismo izolovali logaritam.

\log_2 x = 11 \cdot \frac{3}{11} \implies \log_2 x = 3

Na osnovu definicije logaritma $\log_a x = b \iff x = a^b ,$ dobijamo vrednost za $x .$

x = 2^3 \implies x = 8

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x > 0 .$ Pošto je $8 > 0 ,$ rešenje je validno.

x = 8

530.v