Logaritamska jednačina sa osnovama 3, 9 i 81

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo veći od nule.

x > 0

Da bismo rešili jednačinu, potrebno je da sve logaritme svedemo na istu osnovu. Koristićemo osnovu 3. Primenjujemo pravilo za promenu osnove $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b .$

\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x \\ \log_{81} x = \log_{3^4} x = \frac{1}{4} \log_3 x

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu.

\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{4} \log_3 x = 7

Izvlačimo zajednički faktor $\log_3 x$ ispred zagrade i sabiramo koeficijente.

\log_3 x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = 7

Računamo vrednost u zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

\log_3 x \left( \frac{4 + 2 + 1}{4} \right) = 7 \\ \log_3 x \cdot \frac{7}{4} = 7

Delimo obe strane jednačine sa $\frac{7}{4}$ (odnosno množimo sa recipročnom vrednošću).

\log_3 x = 7 \cdot \frac{4}{7} \\ \log_3 x = 4

Na osnovu definicije logaritma $\log_a x = b \iff x = a^b ,$ nalazimo vrednost nepoznate $x .$

x = 3^4 \\ x = 81

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je $81 > 0 ,$ rešenje je validno.

x = 81

Započni učenje

Online časovi

530.b

Beleške