2259. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

\begin{cases} x > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} \implies x \in (0, +\infty)

Sve logaritme svodimo na istu osnovu, u ovom slučaju na osnovu 2, koristeći pravilo $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ i $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c .$

\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x \\ \log_{\sqrt{2}} 2x = \log_{2^{1/2}} 2x = 2 \log_2 2x = 2(\log_2 2 + \log_2 x)

Zamenjujemo transformisane izraze u početnu jednačinu i koristimo činjenicu da je $\log_2 2 = 1 .$

\log_2 x - 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \log_2 x \right) + 2(1 + \log_2 x) = \frac{20}{3}

Sređujemo jednačinu po $\log_2 x .$

\log_2 x - \frac{2}{3} \log_2 x + 2 + 2 \log_2 x = \frac{20}{3} \\ \left( 1 - \frac{2}{3} + 2 \right) \log_2 x = \frac{20}{3} - 2

Računamo koeficijente i slobodan član.

\frac{7}{3} \log_2 x = \frac{14}{3}

Delimo celu jednačinu sa $\frac{7}{3}$ kako bismo izolovali logaritam.

\log_2 x = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{7} \\ \log_2 x = 2

Na osnovu definicije logaritma, nalazimo vrednost nepoznate $x .$

x = 2^2 \\ x = 4

Proveravamo da li rešenje pripada domenu $x \in (0, +\infty) .$ Pošto je $4 > 0 ,$ rešenje je validno.

x = 4

530.g