2265. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma mora biti pozitivan.

\begin{cases} 3x > 0 \\ 3x \neq 1 \\ \frac{3}{x} > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases}

Koristimo formulu za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ kako bismo sve logaritme sveli na osnovu 3.

\log_{3x}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\log_3 \left(\frac{3}{x}\right)}{\log_3 (3x)}

Primenjujemo pravila za logaritam proizvoda i količnika: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ i $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c .$

\frac{\log_3 3 - \log_3 x}{\log_3 3 + \log_3 x} = \frac{1 - \log_3 x}{1 + \log_3 x}

Zamenjujemo transformisani izraz nazad u početnu jednačinu.

\frac{1 - \log_3 x}{1 + \log_3 x} + \log_3^2 x = 1

Uvodimo smenu $t = \log_3 x .$

\frac{1 - t}{1 + t} + t^2 = 1

Sređujemo jednačinu množenjem sa $1 + t$ (uz uslov $t \neq -1 ,$ što odgovara $x \neq \frac{1}{3}$ iz domena).

1 - t + t^2(1 + t) = 1 + t \\ 1 - t + t^2 + t^3 = 1 + t \\ t^3 + t^2 - 2t = 0

Faktorišemo dobijenu jednačinu.

t(t^2 + t - 2) = 0 \\ t(t + 2)(t - 1) = 0

Rešenja po $t$ su:

t_1 = 0, \quad t_2 = -2, \quad t_3 = 1

Vraćamo smenu $\log_3 x = t$ za svaku vrednost.

1) \log_3 x = 0 \implies x_1 = 3^0 = 1 \\ 2) \log_3 x = -2 \implies x_2 = 3^{-2} = \frac{1}{9} \\ 3) \log_3 x = 1 \implies x_3 = 3^1 = 3

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x > 0, x \neq \frac{1}{3} .$ Sva tri rešenja zadovoljavaju uslove.

x \in \left\{ \frac{1}{9}, 1, 3 \right\}

530.d