2267. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule.

\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x :$

\begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases} \implies x \in (-1, +\infty)

Koristimo pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom: $\log_a(M) + \log_a(N) = \log_a(M \cdot N) .$

\log_3((x + 1)(x + 3)) = 1

Na osnovu definicije logaritma, transformišemo jednačinu u algebarsku:

(x + 1)(x + 3) = 3^1

Množimo zagrade i sređujemo kvadratnu jednačinu:

x^2 + 3x + x + 3 = 3 \\ x^2 + 4x = 0

Faktorišemo dobijenu jednačinu:

x(x + 4) = 0

Rešenja kvadratne jednačine su:

x_1 = 0, \quad x_2 = -4

Proveravamo koja rešenja pripadaju domenu $x \in (-1, +\infty) .$ Rešenje $x = -4$ ne pripada domenu, dok rešenje $x = 0$ pripada.

x = 0

2267.Logaritamske jednačine