2266. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni.

\begin{cases} x + 1,5 > 0 \\ x > 0 \end{cases}

Rešavanjem sistema nejednačina dobijamo uslov za domen:

\begin{cases} x > -1,5 \\ x > 0 \end{cases} \implies x \in (0, +\infty)

Koristimo pravilo za negativni logaritam $-\lg x = \lg x^{-1}$ kako bismo transformisali desnu stranu jednačine.

\lg(x + 1,5) = \lg\left(\frac{1}{x}\right)

Pošto su osnove logaritama iste, možemo izjednačiti njihove argumente.

x + 1,5 = \frac{1}{x}

Množimo celu jednačinu sa $x$ (uz uslov $x > 0$ ) i prebacujemo sve članove na jednu stranu da bismo dobili kvadratnu jednačinu.

x^2 + 1,5x - 1 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule.

x_{1,2} = \frac{-1,5 \pm \sqrt{1,5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1,5 \pm \sqrt{2,25 + 4}}{2}

Sređujemo izraz pod korenom i računamo vrednosti.

x_{1,2} = \frac{-1,5 \pm \sqrt{6,25}}{2} = \frac{-1,5 \pm 2,5}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{-1,5 + 2,5}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 \\ x_2 = \frac{-1,5 - 2,5}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \in (0, +\infty) .$ Rešenje $x_2 = -2$ ne pripada domenu, dok rešenje $x_1 = 0,5$ pripada.

x = 0,5

531.b