2270. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argumenti logaritama moraju biti strogo veći od nule:

\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x :$

\begin{cases} x < 3 \\ x < 1 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

D: x \in (-\infty, 1)

Koristimo pravilo za zbir logaritama sa istom osnovom: $\log_a(M) + \log_a(N) = \log_a(M \cdot N) :$

\log_2((3 - x)(1 - x)) = 3

Na osnovu definicije logaritma, oslobađamo se logaritamske funkcije:

(3 - x)(1 - x) = 2^3

Sređujemo izraz množenjem zagrada i prebacivanjem svih članova na jednu stranu:

3 - 3x - x + x^2 = 8 \\ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \\ x^2 - 4x - 5 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednosti rešenja:

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $D: x < 1 :$

x_1 = 5 \notin (-\infty, 1) \\ x_2 = -1 \in (-\infty, 1)

Konačno rešenje jednačine je:

x = -1

531.v