2315. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Osnove logaritama moraju biti strogo veće od nule i različite od jedan:

\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x \neq 1 \\ 4x \neq 1 \end{cases} \implies x \in (0, +\infty) \setminus \left\{ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right\}

Koristimo pravilo za promenu osnove logaritma $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ da bismo prešli na osnovu 2:

\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 (4x)}

Primenjujemo pravilo za logaritam proizvoda $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ na imenioce:

\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{\log_2 2 + \log_2 x} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x}

Znamo da je $\log_2 2 = 1$ i $\log_2 4 = 2 ,$ pa jednačina postaje:

\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{1 + \log_2 x} = \frac{1}{2 + \log_2 x}

Uvodimo smenu $t = \log_2 x :$

\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{2+t}

Množimo unakrsno, s obzirom na to da imenioci nisu nula zbog uslova domena:

2 + t = t(1+t)

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu:

2 + t = t + t^2 \implies t^2 = 2

Rešavamo jednačinu po $t :$

t_1 = \sqrt{2}, \quad t_2 = -\sqrt{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje:

\log_2 x = \sqrt{2} \implies x_1 = 2^{\sqrt{2}}

Vraćamo smenu za drugo rešenje:

\log_2 x = -\sqrt{2} \implies x_2 = 2^{-\sqrt{2}}

Oba rešenja pripadaju definisanom domenu. Konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ 2^{-\sqrt{2}}, 2^{\sqrt{2}} \right\}

2315.Logaritamske jednačine