2316. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Zbog kvadratnog korena i osnove eksponencijalne funkcije, mora važiti da je $x > 0 .$

x > 0

Zapišimo desnu stranu jednačine u obliku stepena sa osnovom $x$ koristeći pravilo $(a^m)^n = a^{m \cdot n} .$

(\sqrt{x})^x = (x^{\frac{1}{2}})^x = x^{\frac{x}{2}}

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u početnu jednačinu.

x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}}

Jednačina oblika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (za $a > 0$ ) je zadovoljena kada je osnova jednaka $1$ ili kada su izložioci jednaki.

x = 1 \quad \lor \quad \sqrt{x} = \frac{x}{2}

Prvi slučaj nam odmah daje jedno rešenje koje pripada domenu.

x_1 = 1

Za drugi slučaj, rešavamo jednačinu sa izložiocima. Kvadriramo obe strane jednačine.

x = \frac{x^2}{4}

Množimo sa $4$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

x^2 - 4x = 0

Faktorišemo dobijenu jednačinu izvlačenjem zajedničkog činioca $x .$

x(x - 4) = 0

Rešenja ove jednačine su $x = 0$ i $x = 4 .$ Kako je domen $x > 0 ,$ rešenje $x = 0$ odbacujemo.

x_2 = 4

Konačan skup rešenja čine oba validna rešenja koja smo pronašli.

x \in \{1, 4\}

2316.Logaritamske jednačine