2310. Logaritamske jednačine

Zbog logaritma i osnove stepena, uslov definisanosti jednačine je:

x > 0

Primenjujemo pravilo za logaritam stepena $\lg x^n = n \lg x$ na izložilac:

\lg \sqrt{x} = \lg x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \lg x

Zamenjujemo ovo u polaznu jednačinu:

\sqrt{x^{\frac{1}{2} \lg x}} = 10

Kvadratni koren možemo zapisati kao stepen sa izložiocem $\frac{1}{2} :$

\left(x^{\frac{1}{2} \lg x}\right)^{\frac{1}{2}} = 10

Množimo izložioce koristeći pravilo $(a^m)^n = a^{m \cdot n} :$

x^{\frac{1}{4} \lg x} = 10

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 10:

\lg \left( x^{\frac{1}{4} \lg x} \right) = \lg 10

Izložilac izlazi ispred logaritma, a znamo da je $\lg 10 = 1 :$

\frac{1}{4} \lg x \cdot \lg x = 1

Množenjem dobijamo:

\frac{1}{4} (\lg x)^2 = 1

Množimo celu jednačinu sa 4:

(\lg x)^2 = 4

Korenovanjem obe strane dobijamo jednačinu sa apsolutnom vrednošću:

|\lg x| = 2

Definišemo apsolutnu vrednost:

|\lg x| = \begin{cases} \lg x, & \text{za } \lg x \ge 0 \\ -\lg x, & \text{za } \lg x < 0 \end{cases}

Na osnovu ovoga, imamo dva slučaja:

\lg x = 2 \quad \lor \quad -\lg x = 2

Rešavamo prvi slučaj:

x_1 = 10^2 = 100

Rešavamo drugi slučaj ( $\lg x = -2$ ):

x_2 = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01

Oba rešenja zadovoljavaju početni uslov $x > 0 .$ Konačna rešenja su:

x \in \{0.01, 100\}

2310.Logaritamske jednačine