2309. Logaritamske jednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

6 + 7^{-x} > 0

Kako je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna ( $7^{-x} > 0$ ), izraz $6 + 7^{-x}$ je uvek veći od nule za svako realno $x .$ Domen je ceo skup realnih brojeva.

x \in \mathbb{R}

Koristeći definiciju logaritma ( $\log_a b = c \iff a^c = b$ ), transformišemo jednačinu.

6 + 7^{-x} = 7^{x + 1}

Primenjujemo pravila za stepenovanje na desnoj strani jednačine ( $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ ).

6 + 7^{-x} = 7 \cdot 7^x

Zapisujemo $7^{-x}$ kao $\frac{1}{7^x} .$

6 + \frac{1}{7^x} = 7 \cdot 7^x

Uvodimo smenu $t = 7^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi $t > 0 .$

6 + \frac{1}{t} = 7t

Množimo celu jednačinu sa $t$ (što je dozvoljeno jer je $t > 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomka.

6t + 1 = 7t^2

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

7t^2 - 6t - 1 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}

Računamo vrednost pod korenom.

t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{14}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{6 + 8}{14} = 1, \quad t_2 = \frac{6 - 8}{14} = -\frac{1}{7}

Odbacujemo rešenje $t_2 = -\frac{1}{7}$ jer ne zadovoljava uslov $t > 0 .$ Zadržavamo samo $t_1 = 1 .$

t = 1

Vraćamo smenu $t = 7^x .$

7^x = 1

Zapisujemo broj 1 kao stepen osnove 7 ( $1 = 7^0$ ).

7^x = 7^0

Izjednačavamo izložioce i dobijamo konačno rešenje.

x = 0

Započni učenje

Online grupni časovi

2309.
Logaritamske jednačine

2309.Logaritamske jednačine

2309.
Logaritamske jednačine