2308. Logaritamske jednačine

Primenjujemo pravila za stepenovanje da bismo pojednostavili jednačinu. Znamo da je $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$ i $3^{-x} = \frac{1}{3^x} .$

3 \cdot 3^x + \frac{18}{3^x} = 29

Uvodimo smenu $t = 3^x .$ Pošto je eksponencijalna funkcija uvek pozitivna, važi uslov $t > 0 .$

3t + \frac{18}{t} = 29

Množimo celu jednačinu sa $t$ kako bismo se oslobodili razlomka.

3t^2 + 18 = 29t

Prebacujemo sve članove na levu stranu da bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

3t^2 - 29t + 18 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

t_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18}}{2 \cdot 3}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu).

t_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 216}}{6} = \frac{29 \pm \sqrt{625}}{6}

Koren iz $625$ je $25 ,$ pa dobijamo dva rešenja za $t .$

t_{1,2} = \frac{29 \pm 25}{6}

Prvo rešenje je:

t_1 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9

Drugo rešenje je:

t_2 = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Oba rešenja su pozitivna, pa zadovoljavaju uslov $t > 0 .$ Vraćamo smenu $3^x = t$ za prvo rešenje $t_1 = 9 .$

3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_1 = 2

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{2}{3} .$

3^x = \frac{2}{3} \implies x_2 = \log_3 \left( \frac{2}{3} \right)

Primenjujemo pravilo za logaritam količnika $\log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b) - \log_a(c) .$

x_2 = \log_3(2) - \log_3(3) = \log_3(2) - 1

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{ \log_3(2) - 1, 2 \}

2308.Logaritamske jednačine