2307. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo domen jednačine. Zbog logaritma, argument mora biti strogo veći od nule.

x > 0

Koristimo osobine stepenovanja $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ i $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ da bismo razdvojili eksponente.

7^{\lg x} - 5 \cdot 5^{\lg x} = \frac{3}{5} \cdot 5^{\lg x} - \frac{13}{7} \cdot 7^{\lg x}

Grupišemo članove sa osnovom $7$ na levu stranu, a članove sa osnovom $5$ na desnu stranu jednačine.

7^{\lg x} + \frac{13}{7} \cdot 7^{\lg x} = 5 \cdot 5^{\lg x} + \frac{3}{5} \cdot 5^{\lg x}

Izvlačimo zajedničke faktore $7^{\lg x}$ i $5^{\lg x}$ ispred zagrade.

7^{\lg x} \left(1 + \frac{13}{7}\right) = 5^{\lg x} \left(5 + \frac{3}{5}\right)

Sabiramo razlomke unutar zagrada.

7^{\lg x} \cdot \frac{20}{7} = 5^{\lg x} \cdot \frac{28}{5}

Delimo celu jednačinu sa $5^{\lg x} \cdot \frac{20}{7}$ kako bismo razdvojili promenljive od konstanti.

\frac{7^{\lg x}}{5^{\lg x}} = \frac{\frac{28}{5}}{\frac{20}{7}}

Sređujemo desnu stranu jednačine množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova dvojnog razlomka.

\left(\frac{7}{5}\right)^{\lg x} = \frac{28 \cdot 7}{5 \cdot 20}

Skraćujemo razlomak na desnoj strani sa $4 .$

\left(\frac{7}{5}\right)^{\lg x} = \frac{7 \cdot 7}{5 \cdot 5}

Zapisujemo desnu stranu kao stepen osnove $\frac{7}{5} .$

\left(\frac{7}{5}\right)^{\lg x} = \left(\frac{7}{5}\right)^2

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo eksponente.

\lg x = 2

Rešavamo logaritamsku jednačinu (osnova logaritma je $10$ ).

x = 10^2

Računamo konačnu vrednost za $x .$

x = 100

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu $x > 0 .$ Pošto je $100 > 0 ,$ rešenje je prihvatljivo.

x = 100

2307.Logaritamske jednačine